Dr. Anton A. Lipovka |
Vercion de 2005 |
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Métodos matemáticos en física (5 horas a la semana) Prof. Lipovka A.A. (Semestre 2008 - 2) Examen final - 5 de Enero de 2009 a las 9.00 0. Tensores. - Definiciones - Propiedades. - Tensor fundamental. Ejemplos para espacios curvados. - Tensores co- y contra-variantes. Interpretación geométrica. - Tensores duales, valores invariantes. - Líneas geodésicas. - Símbolos de Christoffel. - Comportamiento paralelo y la derivada covariante. - Derivada contravariante. Ecuaciones para línea geodésica. - Generalización de los operadores diferenciales al caso de N-espacio. - Tensor de curvatura (de Riemann - Christoffel). - Identidad de Bianchi. - Tensor de Ricci, escalar de Ricci, tensor de Einstain. 1. Calculo variacional. - Introducción - problema de brachistochrone. - Método de Euler. - Mecánica clásica, los leyes de conservación. Función de Lagrange. - Acción para una partícula libre. Función de Lagrange. - Acción para una partícula con carga en el campo electromagnético. Función de Lagrange. - Derivada de Lagrange – Euler. - Ecuaciones de campo. Lagrangeano, tensor de energía – impulso. - Ejemplos (campo escalar, vectorial, tensorial). 2. Los problemas típicos en física. - Operadores diferenciales en coordenadas curvadas. Coeficientes de Lamé, operadores Δ y ▼ - Ecuación de vibraciones para una cuerda, membrana, barra. (deducción) - Ecuación de difusión y flujo térmico. Condiciones en frontera. (deducción) - Ecuación de la línea larga (ecuación de telégrafo). (deducción) - Ecuación de electrostática. (deducción) - Ecuaciones de dinámica de liquido ideal. (deducción) - Ecuaciones de la teoría de elasticidad. (deducción) - Clasificación de las ecuaciones diferenciales. - Problema de Dirichlet para ecuación de Poisson, condiciones para solución único. - Problema de Neumann para ecuación de Poisson, condiciones para solución único. - Problema con condiciones en frontera de III tipo. - Problema externa de Laplace. 3. Métodos de solución. - La estructura de solución general para el ecuación en derivadas parciales. - Problema de una cuerda infinita (Método de d’Alembert). - Separación de las variables (Método de Fourier). - Problema de enfriamiento de una placa infinita. Evaluación de convergencia del solución. - Problema de una cuerda finita. - Problema de Dirichlet para un circulo. Solución con el integral de Poisson. - Problema de Dirichlet externa para un circulo. - Método de Frobenius. - Ejemplo 1 – ecuación de Legendre. - Ejemplo 2 – ecuación de Bessel. 4. Problema de Sturm-Liuvile (PSL). - Espacio de Hilbert, propiedades, operadores, conjunto de las funciones ortogonales. - Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Ejemplo – polinomios de Legendre. - Definición de PSL, propiedades de operador. - PSL regular en el intervalo del problema. - Propiedades de las eigenvalores y eigenfunciones. - Acotación por abajo del espectro de la PSL. - Determinación de las eigenvalores y eigenfunciones de la PSL. - PSL. Relación entre la norma de eigenfunciones y el ecuación característico. - PSL regular con condiciones periódicas en la frontera. - Problema singular de Sturm-Liuvile. Propiedades de las eigenvalores y eigenfunciones. - Esquema general para el método de Fourier. - Ejemplo 1 – Flujo térmico. - Ejemplo 2 – problema para cascaron esférico. 5. Problemas no-homogéneos. - Reducción a la problema homogénea. Esquema general. - Ejemplo 1 – placa infinita. - Ejemplo 2 – cilindro infinito. - Ejemplo 3 – vibraciones estimulados de una cuerda. - Problema térmica para una bola con la temperatura externa variable. - Método de Transformaciones Integrales Finitos (TIF). (Esquema de G.A. Grinberg) - Problema de Neumann para un rectángulo. - Problema de vibraciones de una barra. - Problema de calentamiento de una bola. - Problema electrostática para un sector del circulo. U(φ=0)=Vr/a , 0 < φ < π/2. - Problema de Dirichlet para un sector del circulo. U(φ=0, α)=f(φ) , 0 < φ < α. - Problema de Dirichlet para un sector del circulo. Caso general. 6. Funciones especiales. - Funciones de Bessel. Definiciones, el radio de convergencia para el serie. - Relaciones recurrentes. - Dependencia (independencia) lineal de las funciones de Bessel con índice negativo y positivo. - Funciones de Weber (Neumann) Yν(z) - Asintótica de las funciones de Bessel 1 y 2 tipo para argumento pequeño y infinito. - Representación integral. - Funciones de Bessel de orden semientero. - Ecuación de Bessel con parámetro. - Los integrales útiles con función de Bessel. - PSL basada en el ecuación de Bessel. - Series de Fourier-Bessel y Dini - Problema de Dirichlet para un cilindro finito. - Problema de flujo térmico para un cilindro infinito. - Func. de Bessel modificados. Propiedades, relaciones recurrentes, casos particulares, asintótica. - Funciones de Mc-Donald. - Problema de Dirichlet para un cilindro corto. - Problema no homogénea de Neumann para un cilindro finito. - Polinomios de Legendre. Definición, propiedades. - Ecuación de Legendre, mostrar que Pn es solución. - Solución general de ecuación de Legendre. Segundo solución. - PSL basada en ecuación de Legendre. - Problema interna de Dirichlet para una esfera. - Problema externa de Dirichlet para una esfera. - Una esfera dentro de un flujo de liquido ideal. - Una carga puntual cerca de superficie de una esfera conductora. - Polinomios de Legendre asociados. - PSL basada en funciones de Legendre asociados. 7. Funciones de Green. - Delta-función de Dirac. - Ecuaciones diferenciales no homogéneos. Método de función de Green. - Función de Green en la mecánica quántica y teoría de perturbación. - Solución en caso general. - Caso particular de operador con segunda derivada. - Ejemplo – oscilador harmónico. - Función de Green modificada. - Solución fundamental para el operador de Laplace. Dimensión de espacio = 1,2,3. Bibliografía : 1) G.B. Arfken, H.J. Weber, “Mathematical methods for physicists” Elsevier Academic Press 2005 2) E. Butkov “Mathematical Physics” Adisson-Wesley, Readings, Massachusetts 1968 3) P.Dennery, A. Krzywicki “Mathematics for Physicists” Harper & Row, New York 1967 4) J.Mathews, R.L.Walker, “Mathematical Methods of Physics” Carnegie-Melon U 1984 5) P.M.Morse, H.Feshbach, ,“Methods of Theoretical Physics” V.1,2, McGraw Hill, New York 1953 6) A.J.Diaz, A.U.Araujo “Funciones Especiales” Universidad de Sonora, 2007
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